Apa yang aritmetik? teorem asas aritmetik. aritmetik perduaan

Apa yang aritmetik? Apabila manusia mula menggunakan nombor dan bekerja dengan mereka? Mana akarnya konsep harian seperti nombor, pecahan, penolakan, penambahan dan pendaraban, orang itu telah dijadikan sebahagian daripada kehidupan dan pandangan beliau? minda Greek dikagumi sains seperti matematik, aritmetik dan geometri, seperti simfoni yang indah logik manusia.

Mungkin matematik tidak sedalam sains lain, tetapi apa yang akan berlaku kepada mereka, orang lupa sifir rendah? Kita kenali pemikiran logik, menggunakan nombor, pecahan, dan alat-alat lain untuk memberi orang masa yang sukar, dan untuk masa yang lama tidak boleh didapati kepada nenek moyang kami. Malah, sebelum perkembangan aritmetik tiada kawasan pengetahuan manusia bukan benar-benar saintifik.

Aritmetik - Matematik adalah abjad

Aritmetik - sains nombor, yang mana-mana individu bermula berkenalan dengan dunia menarik matematik. Dalam kata-kata M. V. Lomonosov, aritmetik - ini adalah pintu pengajian, membuka jalan bagi kita untuk Miropoznanie. Tetapi dia betul, adalah pengetahuan dunia boleh dipisahkan daripada pengetahuan huruf dan nombor, matematik dan bersuara? Mungkin pada zaman dahulu, tetapi tidak dalam dunia moden, di mana perkembangan pesat sains dan teknologi membuat undang-undang sendiri.

Perkataan "aritmetik" (Pg. "Arifmos") berasal dari Yunani, bermaksud "nombor". Ia mengkaji bilangan dan semua yang boleh dikaitkan dengan mereka. Ini adalah dunia nombor: pelbagai operasi pada nombor, kaedah berangka, tugas-tugas yang berkaitan dengan pendaraban, penolakan, dan sebagainya ..

Ia diterima secara umum bahawa langkah awal ialah Matematik aritmetik dan asas yang kukuh untuk lebih kompleks bahagian, seperti algebra, analisis matematik, lebih tinggi matematik dan t. D.

Tujuan utama aritmetik

Asas aritmetik - adalah satu integer, hartanah dan undang-undang yang dianggap aritmetik yang paling tinggi atau teori nombor. Sebenarnya, bagaimana pendekatan yang betul diambil sebagai balasan bagi apa-apa unit kecil, sebagai nombor asli bergantung kepada kekuatan bangunan - matematik.

Oleh itu, soalan yang aritmetik, jawapannya adalah mudah: ia adalah sains nombor. Ya, kira-kira biasa tujuh, sembilan, dan semua komuniti ini pelbagai. Dan sama dengan baik, dan ayat yang biasa-biasa tidak boleh menulis tanpa abjad asas, tanpa aritmetik tidak dapat diselesaikan walaupun tugas-tugas asas. Itulah sebabnya semua sains telah maju hanya selepas pembangunan aritmetik dan matematik, yang terutamanya satu set andaian.

Aritmetik - sains hantu

Apa yang aritmetik - sains semula jadi atau hantu? Malah, ahli-ahli falsafah Yunani purba alasan, tiada nombor, tiada angka pada hakikatnya tidak wujud. Ia hanya hantu, yang dicipta dalam pemikiran manusia apabila melihat alam sekitar dan proses-prosesnya. Malah, apa yang nombor? Tidak ada tempat di sekitar kita tidak melihat apa-apa seperti yang boleh dipanggil nombor, sebaliknya, jumlah - ia adalah satu cara untuk menerokai dunia minda manusia. Mungkin kajian ini, kita mempunyai di dalam diri mereka sendiri? Ahli falsafah berhujah mengenai ini untuk beberapa abad berturut-turut, jadi untuk memberi jawapan lengkap kita tidak menjanjikan. Sama ada cara, aritmetik begitu tegas boleh mengambil kedudukan mereka dalam dunia moden yang tidak boleh dianggap sosial disesuaikan tanpa pengetahuan dasarnya.

Oleh kerana integer positif

Sudah tentu, objek utama yang mengendalikan aritmetik, - nombor asli seperti 1, 2, 3, 4, ..., 152 dan lain-lain ... Aritmetik nombor asli adalah hasil daripada perbelanjaan objek biasa, seperti lembu di padang rumput. Namun, takrif "banyak" atau "sedikit" apabila sesuatu telah terhenti memegang orang, dan terpaksa mencipta teknik kiraan yang lebih canggih.

Tetapi kejayaan sebenar datang apabila minda manusia telah mencapai tahap yang boleh menjadi satu dan jumlah yang sama "dua" untuk menamakan dan 2 kg, dan 2 bata dan 2 bahagian. Hakikat bahawa ia adalah perlu untuk abstrak daripada bentuk-bentuk, ciri-ciri dan makna benda, maka kita boleh menghasilkan beberapa tindakan dengan objek dalam bentuk integer positif. Oleh itu dilahirkan aritmetik nombor, yang terus dibangunkan dan diperluaskan dalam berkongsi kedudukan dalam masyarakat.

Seperti yang mendalam konsep nombor, sifar dan nombor negatif, pecahan, nombor merujuk kepada nombor dalam cara-cara lain, mempunyai sejarah yang kaya dan menarik pembangunan.

Aritmetik dan praktikal Mesir

Dua sahabat manusia purba dalam kajian dunia dan menyelesaikan masalah harian - aritmetik dan geometri.

Adalah dipercayai bahawa sejarah aritmetik berasal di Timur Purba: India, Mesir, Babylon dan China. Jadi, Rhind papyrus asal Mesir (dinamakan sedemikian kerana nama yang sama yang dimiliki oleh pemilik), bertarikh kembali ke abad XX ini. BC, selain daripada data-data penting lain termasuk pengembangan pecahan dalam jumlah pecahan dengan penyebut yang berbeza dan pengangka bersamaan dengan satu.

Sebagai contoh: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Tetapi apa yang dimaksudkan dengan seperti penguraian kompleks? Hakikat bahawa pendekatan Mesir tidak bertolak ansur dengan cabutan berfikir tentang nombor, sebaliknya, pengiraan telah dibuat hanya untuk tujuan praktikal. Iaitu, orang-orang Mesir akan terlibat dalam perniagaan seperti pengiraan, semata-mata untuk membina kubur, sebagai contoh. Ia adalah perlu untuk mengira panjang struktur sirip, dan ia dibuat bagi seseorang untuk duduk papyrus. Seperti yang dapat dilihat, kemajuan Mesir dalam pengiraan dipanggil, bukan besar-besaran, membina, dan bukannya cinta sains.

Atas sebab ini, pengiraan ditemui di atas papirus, tidak boleh dipanggil pantulan pada subjek pecahan. Kemungkinan besar, ia adalah persediaan praktikal, yang membantu untuk terus menyelesaikan masalah dengan pecahan. Orang Mesir purba tidak tahu jadual pendaraban, menghasilkan pengiraan yang agak panjang, tersebar ke dalam banyak tugasan kecil. Mungkin ini adalah salah satu tugasan kecil. Ia adalah mudah untuk melihat bahawa pengiraan dengan kosong ini adalah sangat memakan masa dan tidak begitu cerah. Mungkin atas sebab ini kita tidak melihat sumbangan besar kepada pembangunan matematik Mesir purba.

Greece purba dan aritmetik falsafah

Banyak pengetahuan di Timur Purba telah berjaya dikuasai oleh orang-orang Yunani purba, yang dikenali kepada peminat abstrak, abstrak dan falsafah pemikiran. Amalan mereka berminat dalam apa-apa kurang tetapi ahli-ahli teori terbaik dan pemikir adalah sukar untuk mencari. Ia adalah baik untuk sains kerana matematik tidak mungkin untuk pergi jauh, tidak mengoyak dengan realiti. Sudah tentu, ia adalah mungkin untuk membiak 10 ekor lembu dan 100 liter susu, tetapi tidak dapat bergerak jauh.

Yunani pemikiran amat meninggalkan kesan yang ketara dalam sejarah, dan kerja-kerja mereka telah datang kepada kami:

• Euclid dan "Elements".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Dan, sudah tentu, bertukar semua falsafah Yunani, dan terutamanya pengikut kes Pythagoras begitu ghairah tentang nombor, yang dianggap mereka keharmonian dunia misteri. Nombor telah dikaji demikian dan disiasat, yang sebahagian daripada mereka dan pasangan mereka disebabkan ciri-ciri khas. Sebagai contoh:

• nombor sempurna - mereka yang jumlah semua pembahagi kecuali nombor itu sendiri (6 = 1 + 2 + 3).
• nombor mesra - nombor-nombor ini, salah satu yang adalah jumlah semua pembahagi juga sebaliknya kedua dan begitu (Pythagoras hanya tahu satu pasangan itu: 220 dan 284).

Orang Yunani, yang percaya bahawa sains perlu disayangi, bukan untuk bersama dengan beliau demi keuntungan, telah mencapai kemajuan besar, meneroka, bermain dan menambah nombor. Perlu diingatkan bahawa tidak semua penyelidikan mereka telah digunakan secara meluas, sebahagian daripada mereka hanya "untuk kecantikan."

pemikir timur Zaman Pertengahan

Begitu juga, pada Zaman Pertengahan aritmetik ia berhutang pembangunannya kepada sezaman timur. Kaum India memberikan kita angka-angka yang kita aktif menggunakan perkara yang sedemikian sebagai "sifar", dan kedudukan Perubahan sistem pengiraan, persepsi moden biasa. Dari Al-bubur, yang pada abad ke-15 bekerja di Samarkand, kami telah mewarisi perpuluhan, tanpa mana ia adalah sukar untuk membayangkan aritmetik moden.

Dalam banyak cara, Eropah mengetahui pencapaian Timur telah dijayakan hasil kerja-kerja ahli sains Itali Leonardo Fibonacci, yang menulis sebuah buku "Liber Abaci", membiasakan dengan inovasi oriental. Ia telah menjadi asas kepada pembangunan algebra dan aritmetik, penyelidikan dan aktiviti-aktiviti saintifik di Eropah.

aritmetik Federation

Akhir sekali, aritmetik, telah mendapati tempatnya dan berakar umbi di Eropah, mula tersebar di atas tanah Rusia. Russian aritmetik pertama kali diterbitkan pada tahun 1703 - ia adalah sebuah buku tentang aritmetik Leontiya Magnitskogo. Untuk masa yang panjang, ia adalah satu-satunya tutorial dalam matematik. Ia mengandungi detik-detik awal algebra dan geometri. Angka-angka, yang digunakan dalam contoh buku teks pertama Rusia aritmetik, Bahasa Arab. Walaupun angka Arab telah bertemu sebelum ini, dalam ukiran yang bertarikh kembali ke abad ke-17.

Buku sendiri dihiasi dengan imej Archimedes dan Pythagoras, dan pada halaman pertama - aritmetik imej sebagai seorang wanita. Dia duduk di atas takhta itu, di bawah ada tertulis dalam perkataan Ibrani untuk nama Allah, di mana langkah-langkah yang membawa kepada mezbah itu, tertulis dengan perkataan "Bahagian", "peningkatan", "selain", dan sebagainya. D. Kita hanya boleh membayangkan apa nilai dikhianati menguatkannya, yang kini dianggap perkara biasa.

Buku teks daripada 600 muka surat menerangkan sebagai asas selain seperti dan sifir, dan permohonan untuk sains navigasi.

Tidak menghairankan, penulis telah memilih imej pemikir Yunani untuk bukunya, kerana dia sendiri telah terpesona dengan keindahan aritmetik, katanya: "Arithmetic telah chislitelnitsa terdapat jualah adil, nezavistnoe ...". Pendekatan kepada aritmetik mempunyai asas yang kukuh, kerana ia adalah penggunaan meluas boleh dianggap sebagai permulaan perkembangan pesat pemikiran saintifik di Rusia dan pendidikan umum.

nombor perdana tidak selesa

nombor perdana - ia adalah nombor asli, yang hanya 2 pembahagi positif: 1 dan dirinya. Semua nombor yang lain, kecuali 1 dipanggil komposit. Contoh nombor perdana: 2, 3, 5, 7, 11, dan semua orang lain yang tidak pembahagi selain 1 dan bilangan itu sendiri.

Bagi bilangan 1, ia adalah pada premium - ada perjanjian bahawa ia perlu dianggap tidak mudah atau kompaun. Mudah pada pandangan pertama, nombor yang mudah menyembunyikan banyak misteri yang tidak dapat diselesaikan dalam diri mereka.

teorem Euclid mengatakan bahawa bilangan tak terhingga nombor perdana, dan Eratosthenes datang dengan aritmetik khas "penapis", yang menghapuskan nombor rumit, meninggalkan hanya mudah.

Asasnya adalah untuk menekankan undelete nombor pertama, dan dalam menarik berikutnya daripada orang-orang yang gandaan daripadanya. Kami mengulangi prosedur ini beberapa kali - dan mendapatkan jadual nombor perdana.

teorem asas aritmetik

Antara pemerhatian tentang nombor perdana perlu khas menyebut teorem aritmetik asas.

teorem asas aritmetik menyatakan bahawa mana-mana integer lebih besar daripada 1, atau yang mudah atau ia boleh dihuraikan kepada produk nombor perdana sehingga perintah faktor pengulangan, satu-satunya cara.

teorem asas aritmetik terbukti agak rumit, dan kepandaian itu tidak suka hanya asas.

Pada pandangan pertama, nombor perdana - konsep asas, tetapi ia tidak. Fizik juga pernah dianggap atom rendah, sehingga dia ditemui di dalam alam semesta yang. Nombor perdana khusus cerita matematik indah Don Zagier "Yang pertama lima puluh juta nombor perdana."

Daripada "tiga epal" kepada undang-undang deduktif

Yang benar-benar boleh dipanggil asas yang diperkukuh semua sains - undang-undang aritmetik. Walaupun kanak-kanak semua muka aritmetik, belajar bilangan kaki dan tangan-tangan pada anak patung, bilangan kiub, epal dan sebagainya. D. Oleh itu, kita belajar aritmetik, yang kemudiannya berkembang ke dalam peraturan yang lebih kompleks.

seluruh kehidupan kita memperkenalkan kita kepada kaedah-kaedah aritmetik, yang untuk manusia biasa yang paling berguna semua ilmu yang memberi. Kajian nombor - ia adalah "Arithmetic-bayi", yang memperkenalkan manusia kepada dunia nombor sebagai digit pada awal zaman kanak-kanak.

Arithmetic lebih tinggi - sains deduktif yang mengkaji undang-undang aritmetik. Sebahagian besar daripada mereka yang kita tahu, walaupun mungkin kita tidak tahu kata-kata yang tepat mereka.

Undang-undang penambahan dan pendaraban

Mana-mana dua bilangan bulat a dan b boleh dinyatakan sebagai jumlah a + b, yang juga merupakan nombor asli. Mengenai samping itu, undang-undang berikut:

• Kalis tukar tertib, yang mengatakan bahawa atur terma meletakkan jumlah tidak berubah, atau a + b = b + a.
• Bersekutu yang menyatakan jumlah tidak bergantung kepada kaedah kumpulan terma di tempat-tempat, atau a + (b + c) = (a + b) + c.

Kaedah-kaedah aritmetik, seperti penambahan, - salah satu daripada asas, tetapi ia digunakan semua sains, apatah lagi kehidupan seharian.

Mana-mana dua bilangan bulat a dan b boleh dinyatakan dalam produk atau b * a * b, yang juga merupakan nombor asli. Untuk memohon produk undang-undang kalis tukar tertib dan bersekutu yang sama seperti kepada penambahan:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Adalah menarik bahawa terdapat undang-undang, yang menggabungkan penambahan dan pendaraban, juga dikenali sebagai pengedaran atau undang-undang pengedaran:

a (b + c) = ab + ac

Undang-undang ini mengajar kita untuk bekerja dengan kurungan, membuka mereka, dengan itu kita sudah boleh bekerja dengan formula yang lebih kompleks. Ini adalah undang-undang yang akan membawa kita melalui dunia menarik tetapi kompleks algebra.

Undang-undang perintah aritmetik

mengenai undang-undang logik manusia ia menggunakan setiap hari, memeriksa jam tangannya dan mengira bil. Dan, bagaimanapun, dan ia perlu dibuat ke dalam bahasa tertentu.

Jika kita mempunyai dua integer positif a dan b, maka pilihan yang berikut:

• adalah bersamaan dengan b, atau a = b;
• kurang daripada b, atau
• adalah lebih besar daripada b, atau a> b.

Daripada tiga pilihan hanya boleh hanya satu. Undang-undang Asas, yang mengawal prosedur, berkata: jika seorang

Terdapat juga undang-undang yang mengikat tindakan perintah penambahan dan pendaraban: jika a

Undang-undang aritmetik mengajar kita untuk bekerja dengan nombor, tanda-tanda dan kurungan, menjadikan segala-galanya ke dalam satu simfoni yang harmoni nombor.

Sistem penomboran Positional dan nonpositional

Kita boleh mengatakan bahawa nombor - ini adalah bahasa matematik, dari kemudahan yang bergantung kepada banyak perkara. Terdapat banyak sistem pengiraan, yang mana, seperti huruf bahasa yang berbeza berbeza.

Pertimbangkan sistem nombor dari sudut kedudukan kesan ke atas nilai kuantitatif digit dalam kedudukan ini. Sebagai contoh, sistem Roman adalah nonpositional di mana setiap nombor adalah dikodkan oleh tertentu aksara khas set: I / V / X / L / C / D / M. Mereka, masing-masing, nombor 1/5/10/50/100/500 / 1000. Dalam sistem ini, angka itu tidak berubah penentuan kuantitatif, bergantung kepada apa kedudukan yang sepatutnya: .. Yang pertama, kedua, dan lain-lain Untuk mendapatkan nombor yang lain, ia adalah perlu untuk meletakkan asas. Sebagai contoh:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Lebih kita kenali sistem angka menggunakan angka Arab adalah positional. Dalam sistem tersebut jumlah pelepasan mentakrifkan bilangan digit, sebagai contoh, nombor tiga digit: 333, 567, dan lain-lain Berat apa-apa pelepasan bergantung kepada kedudukan di mana angka itu adalah satu atau yang lain, misalnya angka 8 dalam kedudukan kedua mempunyai nilai 80 Ia adalah khas untuk sistem perpuluhan, terdapat sistem kedudukan lain seperti binari.

aritmetik perduaan

Kami adalah sistem perpuluhan biasa, yang terdiri daripada nombor tunggal-bit dan multi-bit. Angka di sebelah kiri dalam bilangan digit adalah sepuluh kali lebih besar dalam kepentingan kepada yang seorang di sebelah kanan. Jadi, kita digunakan untuk membaca 2, 17, 467, dan sebagainya. D. Ia adalah logik dan pendekatan seksyen yang berbeza, yang dipanggil "aritmetik perduaan." Ini tidak menghairankan, kerana aritmetik perduaan tidak dicipta untuk logik manusia, dan untuk komputer. Jika aritmetik nombor berasal dari pengiraan undi, yang selanjutnya diambil daripada harta yang tertakluk kepada "telanjang" aritmetik, maka ini tidak akan berfungsi dengan komputer anda. Dapat berkongsi pengetahuan mereka dengan komputer, seorang lelaki terpaksa mencipta pengiraan model.

aritmetik perduaan bekerja dengan abjad perduaan, yang hanya terdiri daripada 0 dan 1. Dan penggunaan abjad ini dipanggil sistem binari.

Tidak seperti perpuluhan aritmetik perduaan bahawa kepentingan kedudukan kiri tidak lagi 10, dan 2 kali. nombor binari adalah bentuk 111, 1001 dan sebagainya. D. Bagaimana kita perlu memahami nombor-nombor tersebut? Oleh itu, kami mengambil kira jumlah 1100

1. Angka pertama di sebelah kiri - 1 * 8 = 8, mengingatkan bahawa digit keempat, yang bermaksud bahawa ia mesti didarab dengan 2, kita akan mendapat kedudukan 8.
2. digit kedua 1 * 4 = 4 (kedudukan 4).
3. Digit ketiga 0 * 2 = 0 (kedudukan 2).
4. Digit keempat 0 * 1 = 0 (kedudukan 1).
5. Jadi nombor kami 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Iaitu, peralihan kepada satu kategori baru di sebelah kiri kepentingannya dalam sistem binari didarabkan dengan 2 dan perpuluhan - untuk 10. Sistem seperti ini mempunyai satu kelemahan: ia adalah bit pertumbuhan terlalu besar yang diperlukan untuk merekodkan nombor. Contoh nombor perpuluhan dvochinyh seperti yang dapat dilihat dalam jadual berikut.

nombor perpuluhan diwakili dalam bentuk perduaan di bawah.

Ia juga digunakan perlapanan, perenambelasan dan sistem penomboran.

Ini aritmetik misteri

Apa yang aritmetik, "dua campur dua" atau misteri yang belum diterokai nombor? Seperti yang anda lihat, aritmetik, boleh, dan ia seolah-olah pada pandangan pertama yang mudah, tetapi ia tidak jelas mudah mengelirukan. Ia adalah mungkin untuk belajar kanak-kanak, dan bersama-sama dengan Mak Cik Owl dari kartun "Arithmetic-baby", dan anda boleh menyelam ke dalam penyelidikan saintifik yang mendalam untuk hampir falsafah. Dalam sejarah ia telah pergi dari mengira objek untuk menyembah keindahan nombor. Satu perkara yang pasti: dengan penubuhan postulat asas aritmetik, semua sains boleh bergantung kepada bahu kuat beliau.