Persamaan pesawat: bagaimana untuk membuat? Jenis persamaan satah

Ruang pesawat boleh ditakrifkan dalam cara yang berbeza (satu titik dan vektor, vektor dan kedua-dua mata, tiga mata, dan lain-lain). Ia adalah dengan ini dalam fikiran, persamaan pesawat boleh mempunyai jenis yang berbeza. Juga di bawah syarat-syarat tertentu pesawat berkenaan selari, serenjang, bersilang, dan lain-lain Mengenai perkara ini dan akan bercakap dalam artikel ini. Kita akan belajar untuk membuat persamaan umum pesawat dan bukan sahaja.

Bentuk normal persamaan

Katakan R adalah ruang _3, yang mempunyai segi empat tepat yang sistem koordinat XYZ. Kita menentukan α vektor, yang akan dikeluarkan dari titik permulaan O. Melalui akhir α vektor menarik pesawat P yang berserenjang dengan ia.

Menandakan P di sembarangan tempat Q = (x, y, z). Jejari vektor titik Q surat tanda p. Panjang vektor sama p α = IαI dan Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Unit ini vektor, yang diarahkan ke arah yang sebagai vektor α. α, β dan γ - adalah sudut yang dibentuk antara vektor dan arahan positif Ʋ paksi ruang x, y, masing-masing z. Unjuran titik pada vektor QεP Ʋ adalah pemalar yang sama dengan p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Persamaan di atas adalah bermakna apabila p = 0. Satu-satunya n pesawat dalam kes ini, akan melintasi titik O (α = 0), yang merupakan asal-usul, dan unit vektor Ʋ, dibebaskan dari titik O akan berserenjang dengan P, walaupun arahnya, yang bermaksud bahawa Ʋ vektor yang ditentukan sehingga tanda. persamaan sebelumnya adalah pesawat P kami, dinyatakan dalam bentuk vektor. Tetapi memandangkan koordinat ialah:

P adalah lebih besar daripada atau sama dengan 0. Kami mendapati persamaan satah dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika persamaan dalam koordinat membiak dengan mana-mana nombor yang tidak sama dengan sifar, kita mendapatkan persamaan bersamaan dengan ini yang mentakrifkan kapal terbang lagi. Ia akan mempunyai bentuk yang berikut:

Di sini, A, B, C - adalah jumlah masa yang sama berbeza daripada sifar. Persamaan ini dikenali sebagai persamaan bentuk umum pesawat.

Persamaan pesawat. kes-kes khas

persamaan umumnya boleh diubah suai dengan syarat tambahan. Pertimbangkan sebahagian daripada mereka.

Menganggap bahawa pekali adalah 0. menunjukkan ini bahawa pesawat itu selari dengan Ox paksi yang telah ditetapkan. Dalam kes ini, bentuk persamaan perubahan: Wu + Cz + D = 0.

Begitu juga dengan bentuk persamaan dan akan berbeza dengan syarat-syarat berikut:

• Pertama, jika B = 0, persamaan perubahan kepada Ax + Cz + D = 0, yang menunjukkan keselarian dengan paksi Oy.
• Kedua, jika C = 0, persamaan itu berubah menjadi Ax + By + D = 0, iaitu kira-kira selari dengan paksi yang telah ditetapkan Oz.
• Ketiga, jika D = 0, persamaan akan muncul sebagai Ax + By + Cz = 0, yang akan bermakna bahawa pesawat bersilang O (asal).
• Keempat, jika A = B = 0, persamaan perubahan kepada Cz + D = 0, yang akan terbukti keselarian Oxy.
• Kelima, jika B = C = 0, persamaan menjadi Ax + D = 0, yang bermaksud bahawa pesawat itu adalah selari dengan Oyz.
• Keenam, jika A = C = 0, persamaan mengambil bentuk Wu + D = 0, iaitu, akan melaporkan kepada Oxz keselarian.

Bentuk persamaan dalam segmen

Dalam kes di mana nombor A, B, C, D berbeza daripada sifar, bentuk persamaan (0) boleh menjadi seperti berikut:

x / a + y / b + z / c = 1,

di mana a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Kita terima sebagai persamaan hasil pesawat dalam keping. Ia harus diperhatikan bahawa pesawat ini akan bersilang paksi-x pada titik dengan koordinat (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), dan Oz - (0,0, s).

Memandangkan persamaan x / a + y / b + z / c = 1, ia tidak sukar untuk menggambarkan pesawat penempatan berbanding dengan sistem yang telah ditetapkan koordinat.

Koordinat vektor normal

Biasa vektor n kepada pesawat P yang mempunyai koordinat yang pekali persamaan umum kapal terbang, iaitu n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat n biasa, ia adalah memadai untuk mengetahui persamaan am yang diberikan kapal terbang.

Apabila menggunakan persamaan dalam segmen, yang mempunyai bentuk x / a + y / b + z / c = 1, seperti semasa menggunakan persamaan umum boleh koordinat sebarang vektor normal ditulis pesawat yang diberikan: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Ia harus diperhatikan bahawa vektor normal membantu menyelesaikan pelbagai masalah. Masalah yang paling kerap adalah terdiri dalam satah serenjang atau selari bukti, tugas mencari sudut antara satah atau sudut di antara pesawat dan garis lurus.

Menaip mengikut persamaan pesawat dan koordinat titik vektor normal

A vektor bukan sifar n, serenjang kepada satah tertentu, yang dipanggil biasa (normal) ke tahap yang telah ditetapkan.

Katalah dalam ruang koordinat (segi empat tepat koordinat sistem) Oxyz menetapkan:

• titik Mₒ dengan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ);
• sifar vektor n = A * i + B * j + C * k.

Anda perlu membuat persamaan pesawat yang melalui titik Mₒ berserenjang dengan n biasa.

Dalam ruang yang kita pilih mana-mana tempat sewenang-wenangnya dan menandakan M (x, y, z). Biarkan vektor jejari setiap titik M (x, y, z) akan r = x * i + y * j + z * k, dan vektor jejari titik Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Titik M akan tergolong ke tahap yang diberikan, jika MₒM vektor berserenjang dengan vektor n. Kami menulis keadaan ortogon menggunakan produk skalar:

[MₒM, n] = 0.

Sejak MₒM = r-rₒ, persamaan vektor pesawat akan kelihatan seperti ini:

[R - rₒ, n] = 0.

Persamaan ini juga boleh mempunyai bentuk lain. Untuk tujuan ini, sifat-sifat produk skalar, dan ditukar sebelah kiri persamaan. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Jika [rₒ, n] ditandakan sebagai s, kita mendapatkan persamaan berikut: [r, n] - a = 0 atau [r, n] = s, yang menyatakan keteguhan unjuran pada vektor normal radius-vektor mata memandangkan milik kapal terbang.

Sekarang anda boleh mendapatkan koordinat rakaman jenis pesawat persamaan vektor kami [r - rₒ, n] = 0. Oleh kerana r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, dan n = A * i + B * j + C * k, kita mempunyai:

Ia ternyata bahawa kita mempunyai persamaan terbentuk pesawat melalui titik serenjang dengan n biasa:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Menaip mengikut persamaan pesawat dan koordinat dua mata daripada segaris pesawat vektor

Kita menentukan dua mata sewenang-wenangnya M '(x', y ', z') dan M "(x", y ", z"), serta vektor (a ', a ", ‴ a).

Sekarang kita boleh menulis persamaan yang telah ditetapkan pesawat yang melalui titik M sedia ada dan M ", dan setiap titik dengan koordinat M (x, y, z) selari dengan vektor yang diberikan.

Oleh itu M'M vektor x = {x ', y-y'; zz '} dan M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} harus sesatah dengan vektor a = (a ', a ", ‴ a), yang bermaksud bahawa (M'M M" M, a) = 0.

Jadi persamaan kami kapal terbang di angkasa akan kelihatan seperti ini:

Jenis persamaan kapal terbang, menyeberangi tiga mata

Katakan kita mempunyai tiga mata: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), yang tidak tergolong dalam baris yang sama. Ia adalah perlu untuk menulis persamaan satah yang melalui tiga titik yang dinyatakan. teori geometri berhujah bahawa ini jenis pesawat tidak wujud, ia hanya satu-satunya. Sejak pesawat ini bersilang titik (x ', y', z '), bentuk persamaan yang akan:

Di sini, A, B, dan C adalah berbeza daripada sifar pada masa yang sama. Juga pesawat diberi bersilang dua mata (x ", y", z ") dan (x ‴, y ‴, z ‴). Dalam hal ini perlu dijalankan ini jenis keadaan:

Sekarang kita boleh mewujudkan satu sistem seragam persamaan (linear) dengan tidak diketahui u, v, w:

Dalam kes kami x, y atau z berdiri titik sembarangan yang memenuhi persamaan (1). Memandangkan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3) sistem persamaan yang ditunjukkan dalam rajah di atas, itu memuaskan vektor N (A, B, C) yang nontrivial. Ia adalah kerana penentu sistem adalah sifar.

Persamaan (1) yang kami ada, ini adalah persamaan pesawat. 3 titik dia benar-benar pergi, dan ia adalah mudah untuk memeriksa. Untuk melakukan ini, kita mengembangkan penentu oleh unsur-unsur dalam baris pertama. Sifat-sifat yang sedia ada penentu mengikuti bahawa pesawat kami serentak bersilang tiga tempat yang asalnya telah ditetapkan (x ', y', z '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Jadi kami mengambil keputusan untuk tugas di hadapan kita.

sudut dwisatah antara pesawat

sudut dwisatah adalah bentuk geometri ruang dibentuk oleh dua setengah pesawat yang berpunca dari satu garis lurus. Dengan kata lain, sebahagian daripada ruang yang terhad kepada separuh pesawat.

Katakan kita mempunyai dua pesawat dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahawa N vektor = (A, B, C) dan N¹ = (ä¹, H¹, S¹) mengikut pesawat telah ditetapkan adalah serenjang. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sudut sama (dihedral), yang terletak di antara pesawat ini. Produk skalar diberikan oleh:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

tepat kerana

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (² + S² + V²)) * (√ (ä¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Ia sudah cukup untuk mempertimbangkan 0≤φ≤π itu.

Sebenarnya dua pesawat yang bersilang, bentuk dua sudut (dihedral): φ ₁ dan φ _2. jumlah mereka adalah sama dengan π (φ ₁ + φ ₂ = π). Bagi kosinus, nilai mutlak mereka adalah sama, tetapi mereka adalah tanda-tanda yang berbeza, iaitu, cos φ ₁ = -cos φ _2. Jika dalam persamaan (0) digantikan dengan A, B dan C -A, -B dan -C masing-masing, persamaan, kita peroleh, akan menentukan satah yang sama, satu-satunya sudut φ dalam cos persamaan φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Ia akan digantikan dengan π-φ.

Persamaan satah serenjang

Dipanggil serenjang pesawat, antara yang sudut 90 darjah. Menggunakan bahan yang dibentangkan di atas, kita dapat melihat persamaan satah yang serenjang dengan yang lain. Katakan kita mempunyai dua pesawat: Ax + By + Cz + D = 0, dan + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Kita boleh mengatakan bahawa mereka adalah ortogon jika cos = 0. Ini bermakna bahawa NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Persamaan satah selari

Ia merujuk kepada dua satah selari yang tidak mengandungi titik persamaan.

Keadaan pesawat selari (persamaan mereka adalah sama seperti di perenggan sebelumnya) bahawa vektor N dan N¹, yang serenjang kepada mereka segaris. Ini bermakna bahawa syarat-syarat berikut dipenuhi perkadaran:

A / ä¹ = B / C = H¹ / S¹.

Jika syarat-syarat berkadar sedang berkembang - A / ä¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ini menunjukkan bahawa pesawat data yang sama. Ini bermakna bahawa persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dan + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 menggambarkan satu satah.

Jarak dari titik ke pesawat

Katakan kita mempunyai P kapal terbang, yang diberikan oleh (0). Ia adalah perlu untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Anda perlu membawa persamaan dalam penampilan biasa pesawat II untuk membuat ia:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Dalam kes ini, ρ (x, y, z) adalah vektor jejari Q mata kita, yang terletak di n p - n ialah panjang serenjang, yang dibebaskan dari titik sifar, v - adalah vektor unit, yang disusun dalam arah yang satu.

Perbezaan ρ-ρº radius vektor mata Q = (x, y, z), yang dipunyai oleh n dan vektor jejari suatu titik yang diberi Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) adalah seperti vektor, nilai mutlak unjuran yang pada v sama d jarak, yang perlu untuk mencari dari Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) untuk P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, tetapi

(Ρ ^ρ-0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Jadi ternyata,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Kini ia adalah jelas bahawa untuk mengira jarak d dari ₀ ke Q pesawat P, ia adalah perlu untuk menggunakan normal persamaan pandangan pesawat, peralihan sebelah kiri p, dan tempat terakhir x, y, z pengganti (hₒ, uₒ, zₒ).

Oleh itu, kita dapati nilai mutlak ungkapan yang terhasil yang diperlukan d.

Menggunakan parameter bahasa, kita akan mendapat yang jelas:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (² + V² + S²).

Jika titik Q ₀ yang dinyatakan adalah di sisi lain pesawat P sebagai asal, kemudian antara vektor ρ ^ρ-0 dan v adalah sudut cakah, demikian:

d = - (ρ ^ρ-0, v) = (ρ ^0, v) p> 0.

Dalam kes apabila titik Q ₀ sempena asal yang terletak di sebelah yang sama U, sudut akut dicipta, iaitu:

d = (ρ ^ρ-0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Hasilnya adalah bahawa dalam kes bekas (ρ ^0, v)> p, dalam kedua (ρ ^0, v)

Dan kedudukan persamaan satah tangen

Mengenai pesawat ke permukaan pada titik tengen Mº - pesawat yang mengandungi semua tangen mungkin kepada lengkung dilukis melalui titik itu di permukaan.

Dengan bentuk permukaan ini persamaan F (x, y, z) = 0 dalam persamaan sudut satah tangen tangen Mº (hº, uº, zº) akan:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Jika permukaan ditetapkan jelas z = f (x, y), maka pesawat tangen digambarkan oleh persamaan:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Persimpangan dua pesawat

Dalam ruang tiga dimensi ialah sistem koordinat (segi empat tepat) Oxyz, memandangkan dua pesawat P dan P 'yang bertindih dan tidak bertepatan. Kerana mana-mana kapal terbang, yang berada dalam segi empat tepat sistem koordinat yang ditakrifkan oleh persamaan umum, kita menganggap bahawa n 'dan n "ditakrifkan oleh persamaan A'x + V'u S'z + + D' = 0 dan A" + B x '+ y dengan "z + D" = 0. Dalam kes ini kita mempunyai n normal '(A', B ', C') pesawat P 'dan n biasa "(A", B ", C") pesawat P'. Sebagai pesawat kami tidak selari dan tidak bertepatan, maka vektor ini tidak segaris. Menggunakan bahasa matematik, kita mengalami keadaan ini boleh ditulis sebagai: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * Dan", λ * Dalam ", λ * C"), λεR. Biarkan garis lurus yang terletak di persimpangan P dan P ", akan ditandakan dengan huruf a, dalam kes ini a = P '∩ P".

dan - garis yang terdiri daripada kepelbagaian mata (biasa) pesawat P dan P ". Ini bermakna bahawa koordinat mana-mana tempat yang dimiliki oleh garis yang, pada masa yang sama mesti memenuhi persamaan A'x + V'u S'z + + D '= 0 dan A "x + B' + C y" z + D "= 0. Ini bermakna bahawa koordinat titik akan menjadi satu penyelesaian tertentu persamaan berikut:

Hasilnya adalah bahawa penyelesaian (keseluruhan) sistem ini persamaan akan menentukan koordinat setiap titik pada garis yang akan bertindak sebagai titik persilangan P dan P ", dan menentukan garis dalam sistem koordinat Oxyz (segi empat tepat) ruang.