Fourier mengubah. Fourier pantas mengubah. Fourier diskret mengubah

Fourier transformasi - transformasi, mengaitkan fungsi tertentu pemboleh ubah nyata. Operasi ini dilakukan setiap kali kita menerima bunyi yang berbeza. Telinga menghasilkan automatik "banyak", yang memenuhi kesedaran kita boleh hanya selepas pemeriksaan bahagian matematik yang lebih tinggi. organ pendengaran dalam transformasi manusia membina, di mana bunyi (pergerakan getaran konvensional zarah dalam medium elastik, yang merambat dalam bentuk gelombang dalam medium pepejal, cecair atau gas) disediakan dalam julat nilai berturut-turut tahap kelantangan nada ketinggian yang berbeza-beza. Selepas ini, otak bertukar maklumat ke dalam semua bunyi yang biasa.

Matematik jelmaan Fourier

Penukaran gelombang bunyi atau proses getaran lain (melalui pancaran cahaya dan arus lautan dan kitaran cemerlang atau solar) boleh dilakukan dan melalui kaedah-kaedah matematik. Oleh itu, dengan menggunakan teknik-teknik ini, fungsi-fungsi boleh diperluaskan dengan memperkenalkan proses getaran set komponen sinusoidal, iaitu lengkung ikal yang pergi dari minimum kepada maksimum dan sekali lagi pada tahap minimum, seperti gelombang laut. Fourier transformasi - Fungsi transformasi yang menerangkan fasa atau amplitud setiap sinusoid yang bersamaan dengan frekuensi tertentu. Fasa adalah titik permulaan keluk, dan amplitud - ketinggiannya.

Jelmaan Fourier (contoh ditunjukkan dalam gambar) adalah alat yang sangat kuat, yang digunakan dalam pelbagai bidang sains. Dalam beberapa kes, ia digunakan sebagai penyelesaian persamaan yang agak kompleks yang menerangkan proses dinamik yang berlaku di bawah pengaruh cahaya, haba atau tenaga elektrik. Dalam kes lain, ia membolehkan anda untuk menentukan komponen biasa dalam bentuk gelombang kompleks, kerana ini boleh menjadi benar bagi menterjemah pemerhatian eksperimen dalam kimia, perubatan dan astronomi.

maklumat sejarah

Orang pertama yang menggunakan kaedah ini adalah ahli matematik Perancis Zhan Batist Fure. Penukaran, kemudiannya dinamakan sempena nama beliau, pada asalnya digunakan untuk menggambarkan mekanisme pengaliran haba. Fourier kehidupan dewasa keseluruhan beliau terlibat dalam mengkaji sifat-sifat haba. Beliau membuat sumbangan besar kepada teori matematik penentuan akar persamaan algebra. Fourier adalah seorang profesor analisis di Ecole Polytechnique, Setiausaha Institut ilmu pengetahuan Mesir, adalah perkhidmatan imperial, yang menyebabkan kekecohan pada masa pembinaan jalan ke Turin (di bawah kepimpinan beliau telah berkurangan dari lebih daripada 80 ribu kilometer persegi paya malaria). Walau bagaimanapun, semua aktivisme ini tidak menghalang ahli sains yang terlibat dalam analisis matematik. Pada tahun 1802 ia diperolehi persamaan yang menggambarkan pengembangan haba dalam pepejal. Pada tahun 1807, ahli sains menemui satu kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dikenali sebagai "jelmaan Fourier".

analisis kekonduksian haba

Penyelidik menggunakan kaedah matematik untuk menggambarkan mekanisme pengaliran haba. Satu contoh mudah, di mana tidak ada kesukaran dalam pengiraan adalah penyebaran tenaga haba oleh cincin besi, satu bahagian tenggelam dalam kebakaran. Menjalankan eksperimen Fourier bahagian merah panas cincin menguburkan mayatnya dalam pasir halus. Selepas itu, pengukuran suhu dijalankan di pihak yang bertentangan itu. Pada mulanya, pengedaran haba yang tidak teratur: sebahagian daripada cincin - sejuk, dan lain - panas, antara zon boleh melihat kecerunan suhu yang tajam. Walau bagaimanapun, semasa pengagihan haba seluruh permukaan logam, ia menjadi lebih seragam. Jadi, tidak lama lagi, proses ini mengambil bentuk gelombang sinus. Graf pertama secara beransur-ansur meningkat dan juga mengurangkan lancar, tepat undang-undang pengubahan kosinus atau fungsi sinus. Wave secara beransur-ansur menyamakan kedudukan dan hasilnya suhu menjadi seragam pada seluruh permukaan gelanggang.

Pengarang kaedah ini diandaikan bahawa pengagihan awal adalah agak tidak teratur boleh dihuraikan kepada beberapa gelombang sinus rendah. Setiap daripada mereka akan mempunyai fasa (kedudukan awal) dan suhu maksimum. Oleh itu setiap perubahan komponen seperti dari minimum kepada maksimum dan kembali untuk melengkapkan revolusi sekitar waktu cincin integer. Komponen yang mempunyai tempoh yang dipanggil harmonik asas, dan nilai dengan dua atau lebih tempoh - kedua dan sebagainya. Sebagai contoh, fungsi matematik yang menerangkan suhu maksimum, fasa atau kedudukan dipanggil jelmaan Fourier fungsi taburan. Saintis membawa komponen tunggal yang sukar untuk penerangan matematik, untuk alat mudah untuk digunakan - baris sinus dan kosinus, dalam jumlah memberikan pengagihan awal.

Intipati analisis

Menggunakan analisis ini kepada penukaran pengagihan haba pada objek yang kukuh, yang mempunyai bentuk anulus, ahli matematik yang memberi alasan bahawa tempoh meningkatkan komponen sinusoidal membawa kepada redaman yang pesat. Ini jelas dilihat pada harmonik utama dan kedua. Suhu akhir mencapai dua kali ganda nilai maksimum dan minimum dalam satu laluan, dan dalam pertama - hanya sekali. Ternyata jarak yang dilalui oleh haba dalam harmonik kedua adalah separuh daripada teras. Di samping itu, kecerunan separuh kedua juga akan menjadi lebih curam daripada yang pertama. Oleh itu, kerana fluks haba yang lebih sengit pas jarak minimum janda, maka ini akan teredam harmonik empat kali lebih cepat daripada yang utama, sebagai fungsi masa. Dalam mengikuti proses tersebut akan menjadi lebih cepat. Ahli matematik percaya bahawa kaedah ini membolehkan kita untuk mengira proses pengagihan awal suhu dengan masa.

sezaman panggilan

Fourier mengubah algoritma telah menjadi satu cabaran kepada asas-asas teori matematik pada masa itu. Pada awal abad kesembilan belas, kebanyakan ahli-ahli sains terkemuka, termasuk Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre dan Biot tidak menerima kenyataan bahawa suhu pengedaran awal adalah dihuraikan kepada komponen dalam bentuk gelombang asas dan kekerapan yang lebih tinggi. Walau bagaimanapun, Akademi Sains tidak boleh mengabaikan keputusan yang diperolehi ahli matematik, dan dianugerahkan kepadanya Hadiah untuk teori pengaliran haba daripada undang-undang, serta menjalankan perbandingan dengan eksperimen fizikal. Dalam pendekatan Fourier, bantahan utama adalah hakikat bahawa fungsi selanjar diwakili oleh sejumlah beberapa fungsi sinusoidal, yang berterusan. Lagipun, mereka menggambarkan garis-garis pecah lurus dan melengkung. ahli sains kontemporari tidak pernah mengalami keadaan seperti itu, apabila fungsi selanjar diterangkan oleh gabungan berterusan, seperti kuadratik, linear, sinus atau peserta pameran. Sekiranya ahli matematik adalah betul dalam penegasannya, jumlah siri tak terhingga fungsi trigonometri harus terhad kepada kelajuan yang tepat. Walaupun tuntutan sedemikian seolah-olah tidak masuk akal. Walau bagaimanapun, walaupun keraguan beberapa penyelidik (contohnya Claude Navier, Sofi Zhermen) meluaskan skop penyelidikan dan membawa mereka keluar dari analisis pengedaran haba. matematik A, sementara itu, terus menderita persoalan sama ada sejumlah beberapa fungsi sinusoidal dikurangkan kepada perwakilan sebenar pecah.

Sejarah 200 tahun

Teori ini telah berkembang lebih dua abad, hari ini ia akhirnya terbentuk. Dengan bantuan fungsi ruang atau temporal dipecahkan kepada komponen sinusoidal yang mempunyai frekuensi, fasa dan amplitud. penukaran ini diperolehi dengan dua kaedah matematik yang berbeza. Yang pertama daripada mereka yang digunakan dalam kes apabila sumber itu adalah fungsi yang berterusan, dan kedua - dalam kes di mana ia diwakili oleh kejamakan perubahan individu diskret. Jika ungkapan diperolehi daripada nilai-nilai, yang ditakrifkan pada jangka masa yang diskret, ia boleh dibahagikan kepada beberapa diskret frekuensi sinusoidal ungkapan - dari yang paling rendah dan kemudian dua kali ganda, tiga kali ganda, dan sebagainya di atas asas. Jumlah ini dipanggil siri Fourier. Jika ungkapan awal menetapkan nilai setiap nombor nyata, ia boleh dipecahkan kepada beberapa sinusoidal semua frekuensi mungkin. Ia dipanggil Fourier penting, dan keputusan itu membayangkan transformasi fungsi kamiran. Tidak kira apa kaedah untuk mendapatkan transformasi, untuk setiap frekuensi harus menunjukkan dua nombor: amplitud dan frekuensi. Nilai-nilai ini dinyatakan sebagai satu nombor kompleks. Ungkapan pembolehubah kompleks teori bersama-sama dengan transformasi Fourier untuk melakukan pengiraan dibenarkan reka bentuk pelbagai litar elektrik, analisis getaran mekanikal, kajian mekanisme perambatan gelombang dan lain.

Fourier mengubah hari ini

Pada masa kini, kajian proses ini pada dasarnya bisul untuk mencari kaedah yang berkesan bagi peralihan daripada fungsi untuk menukar kembali ke fikiran. Penyelesaian ini dipanggil Fourier langsung dan songsang mengubah. Apa maknanya? Untuk menentukan penting dan membuat Fourier terus mengubah, anda boleh menggunakan kaedah-kaedah matematik, tetapi anda boleh analisis. Walaupun fakta bahawa apabila ia digunakan dalam amalan terdapat beberapa masalah, yang paling kamiran telah dijumpai dan dicatatkan dalam buku panduan matematik. Dengan ungkapan bantuan kaedah berangka boleh dikira, bentuk yang mana adalah berdasarkan kepada data eksperimen, satu fungsi yang kamiran dalam jadual yang hilang, dan mereka sukar untuk membayangkan dalam bentuk analisis.

Sebelum kedatangan pengiraan kejuruteraan komputer transformasi itu telah sangat membosankan, mereka memerlukan pelaksanaan manual sebilangan besar operasi aritmetik yang bergantung kepada bilangan mata yang menggambarkan fungsi gelombang. Untuk memudahkan penyelesaian hari ini, terdapat program-program khas, dibenarkan untuk melaksanakan baru kaedah analisis. Jadi, pada tahun 1965, Dzheyms Kuli dan Dzhon Tyuki mencipta perisian yang dikenali sebagai "jelmaan Fourier pantas". Ia menjimatkan masa pengiraan dengan mengurangkan jumlah pendaraban dalam analisis keluk. "Fast Fourier Transform" Kaedah ini adalah berdasarkan pada membahagikan lengkung kepada sebilangan besar nilai sampel seragam. Oleh itu, jumlah pendaraban dikurangkan separuh pada masa yang sama mengurangkan bilangan mata.

Memohon jelmaan Fourier

Proses ini digunakan dalam pelbagai bidang: Dalam teori nombor, fizik, pemprosesan isyarat, kombinatorik, teori kebarangkalian, kriptografi, statistik, oseanografi, optik, akustik, dan geometri lain. kemungkinan yang kaya untuk penggunaannya adalah berdasarkan kepada beberapa ciri-ciri yang berguna, yang dipanggil "sifat transformasi Fourier." Marilah kita memeriksa mereka.

1. Fungsi penukaran adalah pengendali linear dan normalisasi yang sepadan adalah kesatuan. Hartanah ini dikenali sebagai teorem Parseval, atau dalam kes umum, teorem Plansherelja atau Pontrjagin dualisme.

2. penukaran tersebut boleh balik. Selain itu, hasil yang bertentangan adalah bentuk yang serupa seperti dalam pengalamatan terus.

3. Ungkapan asas sinusoidal adalah fungsi yang berbeza mereka sendiri. Ini bermakna bahawa lambang itu mengubah persamaan linear dengan pekali malar dalam algebra konvensional.

4. Menurut "kekusutan" teorem, proses membuat operasi kompleks dalam pendaraban rendah.

5. diskret Fourier Transform boleh cepat direka pada komputer menggunakan kaedah "cepat".

Variasi Fourier mengubah

1. Selalunya istilah ini digunakan untuk merujuk kepada transformasi berterusan, memberikan apa-apa ungkapan quadratically terkamir sebagai jumlah ungkapan eksponen kompleks dengan frekuensi sudut tertentu dan amplitud. Spesies ini mempunyai beberapa bentuk yang berbeza, yang mungkin pekali malar berbeza. Kaedah berterusan termasuk jadual penukaran, yang boleh didapati dalam buku panduan matematik. Satu kes umum ialah penukaran pecahan, di mana proses ini boleh dinaikkan kepada kuasa sebenar yang dikehendaki.

2. Kaedah berterusan adalah pengitlakan teknik awal siri Fourier ditakrifkan bagi apa-apa fungsi berkala atau ungkapan, yang wujud di kawasan yang terhad dan mewakili mereka sebagai satu siri sinusoids.

3. diskret Fourier mengubah. Kaedah ini digunakan dalam pengiraan untuk pengiraan saintifik dan pemprosesan isyarat digital. Untuk menjalankan jenis ini banyak diperlukan untuk mempunyai fungsi menentukan pada set diskret mata individu, rantau berkala atau terhad dan bukannya kamiran Fourier berterusan. penukaran isyarat dalam kes ini diwakili sebagai sejumlah sinusoids. Penggunaan kaedah "cepat" membolehkan penggunaan penyelesaian digital untuk semua tujuan praktikal.

4. Tetingkap Fourier mengubah pandangan yang umum kaedah klasik. Tidak seperti penyelesaian standard apabila spektrum isyarat digunakan, yang diambil dalam julat penuh kewujudan pembolehubah ini adalah kepentingan tertentu di sini adalah hanya taburan kekerapan tempatan di samping mengekalkan pembolehubah asal (masa).

5. Fourier dua dimensi mengubah. Kaedah ini digunakan untuk bekerja dengan tatasusunan dua dimensi data. Dalam kes sedemikian, penukaran dilakukan dalam satu arah, dan kemudian - dalam lain.

kesimpulan

Hari ini, kaedah Fourier yang teguh berakar dalam pelbagai bidang sains. Sebagai contoh, pada tahun 1962 ia membuka bentuk heliks ganda dua DNA menggunakan analisis Fourier sempena pembelauan sinar-X. kristal baru-baru ini memberi tumpuan kepada gentian DNA, menyebabkan imej yang diperolehi dengan pembelauan, yang dicatatkan pada filem. Gambar ini memberikan maklumat tentang nilai amplitud dengan menggunakan Fourier mengubah struktur kristal ini. data fasa diperolehi dengan membandingkan kad pembelauan DNA dengan kad yang diperolehi dalam analisis struktur kimia yang sama. Akibatnya, ahli biologi dipulihkan struktur kristal - fungsi asal.

Fourier mengubah memainkan peranan yang besar dalam kajian angkasa lepas, fizik bahan semikonduktor dan plasma, akustik gelombang mikro, oseanografi, radar, seismologi dan pemeriksaan perubatan.