Jumlah sudut segi tiga. Teorem atas jumlah sudut segi tiga

segi tiga adalah poligon mempunyai tiga pihak (tiga sudut). Selalunya, bahagian yang ditandakan dengan huruf kecil huruf besar, yang mewakili mercu bertentangan sepadan. Dalam artikel ini kita lihat pada jenis bentuk geometri, teorem, yang mentakrifkan apa yang sama dengan jumlah sudut segi tiga.

Jenis sudut terbesar

Jenis-jenis poligon dengan tiga mercu:

• akut bersudut, di mana semua sudut yang tajam;
• segi empat tepat mempunyai satu sudut kanan, sebelah membentuk ia, yang disebut kaki, dan bahagian yang dilupuskan bertentangan dengan sudut yang tepat dipanggil hipotenus;
• bodoh apabila satu sudut adalah bodoh ;
• sama kaki, yang kedua-dua pihak adalah sama, dan mereka dipanggil sisi, dan ketiga - sebuah segitiga dengan asas yang;
• sama sisi mempunyai tiga sisi yang sama.

hartanah

Memperuntukkan sifat-sifat asas yang merupakan ciri setiap jenis segitiga:

• bertentangan sampingan yang paling besar adalah sudut sentiasa lebih besar, dan sebaliknya;
• di sudut yang sama bertentangan sama terbesar parti, dan sebaliknya;
• dalam mana-mana segi tiga mempunyai dua sudut akut;
• sudut luar lebih besar daripada mana-mana sudut dalaman dengannya yang tidak bersebelahan;
• jumlah mana-mana dua sudut sentiasa kurang daripada 180 darjah;
• sudut luaran sama dengan jumlah kedua-dua sudut yang lain, yang tidak mezhuyut dengan dia.

Teorem atas jumlah sudut segi tiga

teorem menyatakan bahawa jika anda menambah sehingga semua penjuru bentuk geometri, yang terletak dalam satah Euclid, maka jumlah mereka akan menjadi 180 darjah. Mari kita cuba untuk membuktikan teorem ini.

Mari kita mempunyai segitiga sewenang-wenangnya dengan mercu KMN. Di bahagian atas M akan mengadakan selari terus kepada garis KN (walaupun baris ini dipanggil Euclid). Perlu diingatkan titik A supaya titik K dan A disusun dari sisi yang berbeza barisan MN itu. Kami mendapatkan sudut yang sama AMS dan MUF, yang, seperti kawasan pedalaman, berbohong melintang untuk membentuk bersilang MN sempena CN langsung dan MA, yang selari. Dari ini, ia mengikuti bahawa jumlah sudut segi tiga, yang terletak di bucu M dan N adalah sama dengan saiz sudut CMA. Ketiga-tiga sudut yang terdiri daripada jumlah yang bersamaan dengan jumlah sudut KMA dan MCS. Sejak data adalah sudut dalaman relatif berat sebelah garis selari CL dan CM MA di bersilang, jumlah mereka adalah 180 darjah. Ini membuktikan teorem.

keputusan

Di atas teorem di atas membayangkan akibat wajar berikut: setiap segi tiga mempunyai dua sudut akut. Untuk membuktikan ini, marilah kita menganggap bahawa angka geometri ini hanya mempunyai satu sudut akut. Anda juga boleh menganggap bahawa tidak ada satu sudut tidak tajam. Dalam kes ini, ia mesti sekurang-kurangnya dua sudut, magnitud yang sama dengan atau lebih besar daripada 90 darjah. Tetapi kemudian jumlah sudut adalah lebih besar daripada 180 darjah. Tetapi ini tidak boleh, kerana mengikut sudut teorem jumlah segi tiga adalah sama dengan 180 ° - tidak lebih, tidak kurang. Itulah apa yang perlu dibuktikan.

Hartanah sudut luar

Apakah jumlah sudut segi tiga, yang luar? Jawapan kepada soalan ini boleh diperolehi dengan menggunakan salah satu daripada dua cara. Yang pertama adalah bahawa anda perlu mencari jumlah sudut, yang diambil seorang di setiap bucu, iaitu, tiga sudut. kedua menunjukkan bahawa anda perlu mencari jumlah enam sudut di mercu. Untuk berurusan dengan permulaan penjelmaan yang pertama. Oleh itu, segi tiga mengandungi enam sudut luar - di bahagian atas setiap satu daripada dua. Setiap pasangan mempunyai sudut yang sama antara mereka sendiri, kerana mereka adalah menegak:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Di samping itu, ia dikenali bahawa sudut luar segi tiga sama dengan jumlah kedua-dua dalaman, yang tidak mezhuyutsya dengan dia. oleh itu,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Dari ini, ia kelihatan bahawa jumlah sudut luaran, yang diambil satu demi satu berhampiran setiap bucu akan sama dengan:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Memandangkan hakikat bahawa jumlah sudut sama dengan 180 darjah, ia boleh dikatakan bahawa ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Ini bermakna bahawa ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Jika pilihan kedua digunakan, jumlah enam sudut akan sepadan yang lebih besar dua kali. Iaitu jumlah sudut segi tiga di luar akan:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

segi tiga tepat

Apa yang sama dengan jumlah sudut segi tiga tepat, adalah pulau itu? Jawapannya adalah, sekali lagi, dari Teorem yang menyatakan bahawa sudut segi tiga menambah sehingga 180 darjah. Bunyi penegasan kami (harta) seperti berikut: dalam segi tiga tepat sudut tajam menambah sehingga 90 darjah. Kami membuktikan kebenarannya. Jadilah diberi segitiga KMN, yang ∟N = 90 °. Ia adalah perlu untuk membuktikan bahawa ∟K ∟M = + 90 °.

Oleh itu, menurut teorem pada jumlah sudut ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Dalam keadaan ini dikatakan bahawa ∟N = 90 °. Ternyata ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Itulah ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Itulah yang kita harus membuktikan.

Sebagai tambahan kepada sifat-sifat di atas segi tiga tepat, anda boleh menambah ini:

• sudut, yang dibuat terhadap kaki yang tajam;
• hipotenus segi tiga yang lebih besar daripada mana-mana kaki;
• jumlah kaki lebih daripada hipotenus;
• kaki segi tiga, yang terletak bertentangan dengan sudut 30 darjah, separuh daripada hipotenus, iaitu sama dengan separuh itu.

Sebagai harta lain bentuk geometri boleh dibezakan teorem Pythagoras. Beliau berhujah bahawa dalam sebuah segitiga dengan sudut 90 darjah (segi empat tepat), jumlah kuasa dua kaki sama dengan kuasa dua hipotenus.

Jumlah sudut segi tiga sama kaki

Sebelum ini kita berkata bahawa segi tiga sama kaki adalah sebuah poligon dengan tiga bucu, yang mengandungi kedua-dua pihak yang sama. Hartanah ini dikenali angka geometri: sudut pada dasarnya sama. Marilah kita membuktikan ini.

Mengambil segitiga KMN, yang sama kaki, SC - tapaknya. Kami dikehendaki untuk membuktikan ∟K yang = ∟N. Jadi, mari kita andaikan MA itu - KMN adalah pembahagi dua segi tiga kami. ICA segitiga dengan tanda pertama kesaksamaan adalah segi tiga MNA. Iaitu dengan hipotesis memandangkan CM = NM, MA ialah sampingan yang biasa, ∟1 = ∟2, kerana MA - pembahagi dua ini. Menggunakan persamaan kedua-dua segi tiga, salah satu boleh berhujah bahawa ∟K = ∟N. Oleh itu, teorem dibuktikan.

Tetapi kita berminat, apakah jumlah sudut segi tiga (sama kaki). Kerana dalam hal ini ia tidak mempunyai ciri-ciri, kita akan bermula dari teorem yang telah dibincangkan tadi. Iaitu, kita boleh mengatakan bahawa ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, atau 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (sebagai ∟K = ∟N). Ini tidak akan membuktikan harta itu, sebagai teorem pada jumlah sudut segi tiga telah dibuktikan sebelum ini.

Kecuali sifat-sifat yang dianggap satu sudut segi tiga, ada juga kenyataan penting seperti:

• dalam ketinggian segitiga sama sisi, yang telah diturunkan kepada asas, adalah pada masa yang sama pembahagi dua sama median sudut yang merupakan antara dua pihak yang sama dan paksi simetri daripada asas;
• median (pembahagi dua sama, ketinggian), yang diadakan untuk sisi seorang tokoh geometri, adalah sama.

segi tiga sama sisi

Ia juga dikenali sebagai hak, adalah segi tiga, yang sama rata kepada semua pihak. Dan dengan itu juga sama dan sudut. Setiap daripada mereka adalah 60 darjah. Mari kita buktikan hartanah ini.

Mari kita anggap bahawa kita mempunyai sebuah segitiga KMN. Kita tahu bahawa KM = HM = KH. Ini bermakna, menurut harta sudut bertempat di pangkalan di segi tiga sama sisi ∟K = ∟M = ∟N. Kerana, menurut jumlah sudut teorem segitiga ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, maka x 3 = 180 ° ∟K atau ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Oleh itu, dakwaan dibuktikan. Seperti yang dapat dilihat dari keterangan di atas berdasarkan teorem di atas, jumlah sudut segi tiga sama sisi, sebagai jumlah sudut mana-mana segi tiga yang lain adalah 180 darjah. Sekali lagi membuktikan teorem ini tidak perlu.

Masih terdapat beberapa ciri-ciri segitiga sama sisi:

• median ketinggian pembahagi dua sama dalam angka geometri yang serupa, dan panjang mereka dikira sebagai (a x √3): 2;
• jika poligon ini membataskan bulatan, kemudian jejari akan sama dengan (a x √3): 3;
• jika tertulis dalam bulatan segi tiga sama sisi, jejari akan (a x √3): 6;
• kawasan angka geometri dikira dengan formula: (a2 x √3): 4.

segitiga bodoh

Mengikut definisi, segi tiga bersudut cakah, salah satu sudutnya adalah antara 90 hingga 180 darjah. Tetapi memandangkan hakikat bahawa kedua-dua sudut lain bentuk geometri tajam, dapat disimpulkan bahawa mereka tidak melebihi 90 darjah. Oleh itu, jumlah sudut sebuah teorem segi tiga kerja-kerja dalam mengira jumlah sudut dalam segi tiga bodoh. Jadi, kita boleh menyatakan, berdasarkan teorem di atas bahawa jumlah sudut cakah segi tiga adalah 180 darjah. Sekali lagi, teorem ini tidak perlu semula bukti.