Apakah nombor semula jadi? Sejarah, ruang lingkup, hartanah

Matematik dibezakan daripada falsafah umum sekitar abad keenam SM. Dan dari saat itu memulakan prosesi kemenangan di seluruh dunia. Setiap tahap pembangunan memperkenalkan sesuatu yang baru - akaun asas berkembang, berubah menjadi kalkulus yang berbeza dan terintegrasi, berabad lamanya digantikan, formula menjadi lebih rumit, dan saat ini muncul ketika "matematik yang paling kompleks bermula - semua angka hilang darinya". Tetapi apakah asasnya?

Mula permulaan

Nombor semula jadi muncul setanding dengan operasi matematik pertama. Sekali tulang belakang, dua akar, tiga akar ... Mereka muncul berkat saintis India yang menyimpulkan sistem nombor pos pertama . Perkataan "positional" bermakna lokasi setiap digit dalam nombor itu didefinisikan dengan ketat dan sesuai dengan kategorinya. Sebagai contoh, nombor 784 dan 487 adalah nombor yang sama, tetapi bilangannya tidak bersamaan, kerana yang pertama termasuk 7 ratus, manakala nombor kedua hanya 4. Inovasi kaum India diambil oleh orang Arab, yang membawa nombor kepada spesies yang kita tahu Sekarang.

Pada zaman purba, nombor diberikan makna mistik, ahli falsafah matematik terbesar Pythagoras percaya bahawa bilangan itu mendasari penciptaan dunia bersama-sama dengan elemen utama - kebakaran, air, bumi, udara. Sekiranya kita menganggap segala-galanya dari segi matematik, maka apakah nombor semula jadi? Bidang nombor semulajadi dilambangkan oleh N dan mewakili siri tak terhingga nombor yang integer dan positif: 1, 2, 3, ... + ∞. Sifar dikecualikan. Ia digunakan terutamanya untuk mengira objek dan pesanan.

Apakah nombor semula jadi dalam matematik? Aksioma Peano

Medan N adalah medan asas di mana asas matematik adalah berdasarkan. Dengan peredaran masa, bidang integer, nombor rasional, kompleks dibezakan .

Kerja-kerja ahli matematik Itali, Giuseppe Peano, membolehkan penstrukturan aritmetik, mencapai kesesuaiannya dan menyediakan alasan untuk membuat kesimpulan lanjut yang melampaui lapangan N. Apakah nombor semulajadi yang telah dijelaskan sebelum ini oleh bahasa yang mudah, di bawah adalah definisi matematik berdasarkan aksioma Peano.

• Satu unit dianggap nombor semulajadi.
• Nombor yang mengikuti nombor semula jadi adalah semula jadi.
• Sebelum perpaduan tidak ada nombor semula jadi.
• Jika nombor b mengikuti kedua-dua nombor c dan nombor d, maka c = d.
• Aksiom induksi, yang seterusnya menunjukkan bahawa bilangan semulajadi: jika beberapa pernyataan yang bergantung pada parameter itu adalah benar untuk nombor 1, maka kita mengandaikan bahawa ia berfungsi untuk nombor n dari medan nombor semula jadi N. Kemudian penegasan itu benar untuk n = 1 dari medan nombor semula jadi N.

Operasi asas untuk bidang bilangan semula jadi

Memandangkan bidang N adalah yang pertama untuk pengiraan matematik, adalah bahawa kedua-dua domain takrifan dan julat nilai beberapa operasi disebutkan di bawah. Mereka ditutup dan tidak. Perbezaan utama ialah operasi tertutup adalah dijamin untuk meninggalkan keputusan dalam set N, tanpa mengira nombor mana yang terlibat. Ia cukup bahawa mereka adalah semula jadi. Hasil daripada interaksi berangka yang tidak lagi tidak lagi jelas dan terus bergantung kepada angka yang terlibat dalam ungkapan, kerana ia mungkin bercanggah dengan definisi asas. Jadi, operasi tertutup:

• Penambahan - x + y = z, di mana x, y, z dimasukkan dalam medan N;
• Perkalian - x * y = z, di mana x, y, z dimasukkan dalam medan N;
• Exponentiation - x ^y , di mana x, y dimasukkan dalam medan N.

Operasi lain, hasilnya yang mungkin tidak wujud dalam konteks takrif "apa nombor semula jadi", adalah seperti berikut:

• Penolakan - x - y = z. Bidang nombor semula jadi mengakui hanya jika x lebih besar daripada y;
• Bahagian - x / y = z. Bidang nombor semulajadi mengakui hanya dalam kes apabila z dibahagikan dengan y tanpa baki, iaitu, sepenuhnya.

Sifat nombor yang dimiliki oleh medan N

Semua hujah matematik yang lebih lanjut akan berdasarkan sifat berikut, yang paling remeh, tetapi dari ini tidak kurang penting.

• Sifat anjakan penambahan ialah x + y = y + x, di mana nombor x, y dimasukkan ke dalam medan N. Atau semua dikenali "jumlah tidak berubah dari perubahan tempat-tempat yang tertera".
• Sifat anjakan pendaraban adalah x * y = y * x, di mana nombor x, y dimasukkan ke dalam medan N.
• Penggabungan harta penambahan adalah (x + y) + z = x + (y + z), di mana x, y, z dimasukkan dalam medan N.
• Properti perkalian pendaraban adalah (x * y) * z = x * (y * z), di mana nombor x, y, z dimasukkan dalam medan N.
• Properti edaran adalah x (y + z) = x * y + x * z, di mana nombor x, y, z dimasukkan dalam medan N.

Jadual Pythagoras

Salah satu langkah pertama dalam pengetahuan pelajar tentang keseluruhan struktur matematik asas selepas mereka memahami sendiri bilangan yang dipanggil semula jadi ialah jadual Pythagoras. Ia boleh dilihat bukan sahaja dari segi pandangan sains, tetapi juga sebagai monumen saintifik yang paling berharga.

Jadual pendaraban ini mengalami beberapa perubahan dari masa ke masa: dari itu, sifar dikeluarkan, dan nombor dari 1 hingga 10 menunjukkan diri mereka, tanpa mengambil kira pesanan (beratus-ratus, beribu-ribu ...). Ini adalah jadual di mana tajuk baris dan lajur adalah nombor, dan kandungan sel persimpangan mereka bersamaan dengan produk mereka.

Dalam amalan pengajaran dekad yang lalu, adalah perlu untuk menghafal meja Pythagoras "dalam rangka", iaitu, pertama terdapat hafalan. Pendaraban sebanyak 1 telah dihapuskan, kerana hasilnya adalah 1 atau lebih multiplier. Sementara itu, dalam jadual dengan mata kasar anda dapat melihat keteraturan: produk nombor tumbuh dengan satu langkah, yang sama dengan tajuk garisan. Oleh itu, faktor kedua menunjukkan kepada kita berapa kali untuk mengambil yang pertama, untuk mendapatkan produk yang dikehendaki. Sistem ini tidak lebih mudah daripada yang diamalkan pada Zaman Pertengahan: walaupun menyedari bilangan semulajadi dan betapa remehnya, orang-orang berjaya merumitkan akaun harian mereka menggunakan sistem yang berdasarkan kuasa deuce.

Subset seperti buaian matematik

Pada masa ini, bidang nombor semula jadi N dianggap hanya sebagai salah satu daripada subset bilangan kompleks, tetapi ini tidak menjadikan mereka kurang bernilai dalam sains. Nombor semulajadi adalah perkara pertama kanak-kanak belajar dengan belajar sendiri dan dunia di sekelilingnya. Satu jari, dua jari ... Terima kasih kepadanya, seseorang mengembangkan pemikiran logik, serta keupayaan untuk menentukan punca dan keluaran akibatnya, menyediakan alasan untuk penemuan yang lebih besar.