Pendulum: tempoh dan pecutan formula

Sistem mekanikal yang terdiri daripada titik bahan (badan), yang tergantung pada filamen tak memanjang berat (jisim diabaikan berbanding dengan berat badan) dalam medan graviti yang seragam, yang dipanggil bandul matematik (nama lain - pengayun). Terdapat lain-lain jenis peranti. Bukannya filamen rod berat boleh digunakan. Pendulum jelas boleh mendedahkan intipati banyak fenomena yang menarik. Apabila getaran amplitud kecil gerakannya dipanggil harmonik.

maklumat umum mengenai sistem mekanikal

Formula tempoh ayunan bandul telah dibesarkan Huygens saintis Belanda (1629-1695 gg.). Ini kontemporari Isaac Newton amat suka sistem mekanikal. Pada tahun 1656 beliau mencipta jam tangan pertama dengan mekanisme bandul. Mereka mengukur masa dengan ketepatan yang melampau untuk masa-masa. Ciptaan ini merupakan langkah utama dalam pembangunan eksperimen fizikal dan aktiviti praktikal.

Jika bandul berada dalam kedudukan keseimbangan (tergantung menegak), yang kuasa graviti akan diseimbangkan oleh daya ketegangan benang. bandul rata pada benang bukan stretchable adalah sistem dengan dua darjah kebebasan komunikasi. Apabila menukar salah satu komponen mengubah ciri-ciri semua bahagian-bahagiannya. Sebagai contoh, jika thread yang digantikan dengan rod, maka sistem mekanikal ini hanya 1 darjah kebebasan. Apa, maka, sifat-sifat bandul matematik? Dalam sistem ini mudah, di bawah pengaruh gangguan berkala, huru-hara muncul. Dalam kes itu, apabila titik penggantungan itu tidak bergerak, dan berayun bandul terdapat kedudukan keseimbangan yang baru. Jika turun naik pesat atas dan ke bawah sistem mekanikal ini menjadi kedudukan stabil "terbalik." Ia juga mempunyai namanya. Ia dipanggil Kapitza bandul.

Sifat-sifat bandul

Pendulum mempunyai ciri-ciri yang sangat menarik. Kesemua mereka disokong oleh undang-undang fizikal yang terkenal. Tempoh ayunan bandul yang lain bergantung kepada pelbagai keadaan seperti saiz dan bentuk badan, jarak antara tempat penggantungan dan pusat graviti, pengagihan berat berkenaan dengan hal ini. Itulah sebabnya definisi tempoh tergantung badan adalah agak mencabar. Adalah lebih mudah untuk mengira tempoh bandul ringkas, formula yang diberikan di bawah. Hasil daripada memerhatikan pola-pola ini boleh ditetapkan pada sistem mekanikal yang sama:

• Jika, di samping mengekalkan sama panjang bandul, digantung daripada pelbagai beban, tempoh ayunan mendapatkan yang sama, walaupun berat badan mereka akan berbeza. Oleh itu, tempoh bandul tidak bergantung kepada berat beban.

• Jika sistem mula merosot dalam bandul tidak terlalu besar, tetapi sudut yang berbeza, ia akan turun naik dengan tempoh yang sama, tetapi pada amplitud yang berbeza. Manakala sisihan dari pusat keseimbangan tidak turun naik terlalu besar dalam bentuk mereka akan menjadi cukup dekat harmonik. Tempoh bandul itu tidak bergantung kepada amplitud getaran. Penginapan sistem mekanikal dipanggil isochronism (dalam Greek "chronos" - masa "Izosov" - sama).

Tempoh bandul ringkas

Angka ini mewakili tempoh semulajadi ayunan. Walaupun penggubalan kompleks, proses itu sendiri adalah sangat mudah. Jika panjang benang matematik L bandul, dan pecutan graviti g, nilai ini adalah sama:

T = 2π√L / g

tempoh kecil ayunan semula jadi sama sekali tidak tidak bergantung kepada jisim bandul dan amplitud ayunan. Dalam kes ini, sebagai bandul matematik bergerak dengan panjang dikurangkan.

Ayunan bandul matematik

bandul matematik berayun, yang boleh digambarkan oleh persamaan kebezaan mudah:

x + ω2 sin x = 0,

mana x (t) - fungsi yang tidak diketahui (sudut ini pesongan dari kedudukan yang lebih rendah daripada keadaan keseimbangan pada masa t, dinyatakan dalam radian); ω - pemalar positif yang ditentukan daripada parameter bandul (ω = √g / L, di mana g - pecutan graviti, dan L - panjang bandul ringkas (penggantungan).

Persamaan ayunan kecil pada kedudukan seimbang (persamaan harmonik) seperti berikut:

x + ω2 sin x = 0

gerakan ayunan bandul

Pendulum, yang membuat ayunan kecil, sinusoid bergerak. persamaan pembezaan kedua memenuhi semua keperluan dan parameter seperti gerakan. Untuk menentukan laluan yang anda perlukan untuk menetapkan kelajuan dan koordinat, yang kemudiannya telah dipilih pemalar bebas:

x = sin A (θ ₀ + ωt),

mana θ ₀ - fasa awal, A - amplitud ayunan, ω - kekerapan kitaran ditentukan daripada persamaan gerakan.

Pendulum (formula untuk amplitud besar)

Sistem mekanikal, melaksanakan ayunan mereka dengan amplitud yang besar, ia adalah tertakluk kepada undang-undang lalu lintas yang lebih kompleks. mereka dikira mengikut formula bagi apa-apa bandul:

dosa x / 2 = u * sn (ωt / u),

mana sn - sinus Jacobi, yang selama u <1 adalah fungsi berkala, dan untuk u kecil ia bertepatan dengan sinus trigonometri yang mudah. Nilai u ditentukan oleh ungkapan berikut:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

mana ε = E / ML2 (ML2 - tenaga bandul).

Penentuan tempoh ayunan tak linear bandul dengan formula berikut:

T = 2π / Ω,

mana Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - bujur penting, π - 3,14.

gerakan bandul daripada separatrix yang

Ia dipanggil separatrix trajektori sistem dinamik, di mana ruang fasa dua dimensi. Bandul bergerak bukan berkala. Dalam titik tak terhingga jauh masa yang jatuh dari kedudukan atas yang melampau ke arah kelajuan sifar, dan kemudian ia beransur-ansur mendapat. Dia akhirnya berhenti, kembali ke kedudukan asalnya.

Jika amplitud ayunan bandul menghampiri jumlah pi, ia berkata bahawa gerakan dalam satah fasa adalah berhampiran dengan separatrix itu. Dalam kes ini, di bawah tindakan daya penggerak berkala kecil sistem mekanikal mempamerkan kelakuan yang huru-hara.

Sekiranya terdapat bandul mudah dari kedudukan keseimbangan dengan cp sudut berlaku daya tangen Fτ = sin φ -MG graviti. "Minus" tanda bermakna bahawa komponen tangen diarahkan ke arah yang bertentangan dari arah penyelewengan bandul. Apabila merujuk melalui bandul anjakan x bersama-sama lengkok bulatan dengan radius L adalah sama dengan anjakan φ sudut yang = x / L. Undang-undang kedua Isaaka Nyutona, direka untuk unjuran vektor pecutan dan kekuatan memberi nilai yang dikehendaki:

mg τ = Fτ = -MG dosa x / L

Berdasarkan nisbah ini, ia adalah jelas bahawa bandul adalah sistem tak linear, sebagai kuasa yang cenderung untuk kembali ke keadaan keseimbangannya, tidak sentiasa berkadar dengan x anjakan, dosa x / L.

Hanya apabila bandul matematik melakukan getaran kecil, ia adalah pengayun harmonik. Dalam erti kata lain, ia menjadi satu sistem mekanikal mampu melaksanakan ayunan harmonik. anggaran ini adalah sah selama hampir sudut 15-20 °. Pendulum dengan amplitud yang besar tidak harmoni.

undang-undang Newton untuk ayunan kecil bandul

Jika sistem mekanikal melakukan ayunan kecil, undang-undang 2 Newton akan kelihatan seperti ini:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Atas dasar ini, kita boleh menyimpulkan bahawa pecutan tangen bandul ringkas adalah berkadar dengan anjakan dengan tanda "tolak". Ini adalah satu keadaan di mana sistem menjadi pengayun harmonik. Modul faktor perkadaran antara anjakan dan pecutan sama dengan kuasa dua frekuensi sudut:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Formula ini mencerminkan frekuensi tabii ayunan kecil jenis ini bandul. Atas dasar ini,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Pengiraan berdasarkan undang-undang pemuliharaan tenaga

Properties berayun pergerakan bandul boleh digambarkan dengan bantuan undang-undang pemuliharaan tenaga. Perlu diingat bahawa tenaga potensi bandul dalam medan graviti ialah:

E = mgΔh = mg (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Penuh tenaga mekanikal sama dengan keupayaan kinetik dan maksimum: Epmax = Ekmsx = E

Setelah anda menulis undang-undang pemuliharaan tenaga, mengambil terbitan sisi kiri dan kanan persamaan:

Ep + Ek = const

Sejak terbitan pemalar adalah sama dengan 0, maka (Ep + Ek) = 0. terbitan daripada jumlah yang sama dengan jumlah terbitan:

Ep '= (mg / L * x2 / 2) = mg / 2L * 2x * x' = mg / L * v + Ek '= (mv2 / 2) = m / 2 (v2)' = m / 2 * 2v * v '= mv * α,

oleh itu:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Berdasarkan formula yang lalu, kita dapati: α = - g / L * x.

aplikasi praktikal bandul matematik

Pecutan jatuh bebas berbeza dengan latitud, kerana ketumpatan kerak di seluruh planet ini tidak serupa. Di mana batuan berlaku dengan ketumpatan yang lebih tinggi, ia akan menjadi lebih tinggi sedikit. Pecutan bandul matematik sering digunakan untuk penerokaan. Dalam melihat bantuannya untuk mineral yang berbeza. Hanya mengira bilangan ayunan bandul, ia adalah mungkin untuk mengesan arang batu atau bijih dalam perut bumi. Ini adalah disebabkan oleh hakikat bahawa sumber-sumber ini mempunyai kepadatan dan berat lebih daripada berbaring di bawah batu-batu longgar.

bandul matematik yang digunakan oleh mana-mana ulama terkemuka seperti Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Ramai daripada mereka percaya bahawa sistem mekanikal boleh mempengaruhi nasib dan kehidupan. Archimedes digunakan bandul matematik dengan pengiraan. Pada masa kini, banyak ilmu ghaib dan psikik menggunakan sistem mekanikal ini bagi pelaksanaan nubuat, atau pencarian orang hilang.

Ahli astronomi Perancis yang terkenal dan ahli sains, Flammarion untuk penyelidikan mereka juga menggunakan bandul matematik. Beliau mendakwa bahawa dengan bantuan beliau beliau dapat meramalkan penemuan planet baru, kemunculan meteorit Tunguska, dan peristiwa-peristiwa penting lain. Semasa Perang Dunia Kedua di Jerman (Berlin) bekerja sebagai institut khusus bandul. Pada masa kini, penyelidikan itu tidak boleh didapati Munich Institut parapsikologi. kerja-kerja dengan bandul kakitangan institusi ini dipanggil "radiesteziey".