Bagaimana untuk mengira kawasan piramid: asas, sisi dan penuh?

Dalam persediaan untuk peperiksaan pelajar matematik perlu sistematik pengetahuan algebra dan geometri. Saya mahu untuk menggabungkan semua maklumat yang diketahui, seperti bagaimana untuk mengira kawasan piramid. Lebih-lebih lagi, bermula dari bahagian bawah dan tepi menghadapi sehingga kawasan permukaan keseluruhan. Jika pihak menghadapi keadaan adalah jelas, kerana mereka adalah segi tiga, asas adalah sentiasa berbeza.

Bagaimana untuk menjadi apabila kawasan pangkal piramid?

Ia boleh menjadi agak mana-mana tokoh dari segi tiga sewenang-wenangnya kepada n-gon itu. Dan asas ini, kecuali perbezaan dalam bilangan sudut, mungkin angka yang betul atau tidak betul. Demi kepentingan pelajar tugas-tugas pada peperiksaan hanya terdapat pekerjaan dengan angka yang betul dalam pangkalan. Oleh itu, kita hanya akan bercakap tentang mereka.

segi tiga sama sisi

Yang sama sisi. Salah semua pihak adalah sama dan ditetapkan oleh huruf "a". Dalam kes ini, kawasan asas piramid dikira dengan formula:

S = (a * √3 ²⁾ / 4.

persegi

formula untuk mengira kawasan adalah yang paling mudah, adalah "a" - sebelah sekali lagi:

Dan S = ^2.

Sewenang-wenangnya tetap n-gon

Di sisi poligon penetapan yang sama. Untuk bilangan sudut digunakan Latin surat n.

S = (n * ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Cara untuk memasukkan dalam pengiraan luas permukaan sisi dan penuh?

Sejak angka asas adalah betul, maka semua muka piramid adalah sama. Setiap yang ialah segi tiga sama kaki, sejak tepi sebelah adalah sama. Kemudian, untuk mengira luas satu sisi piramid memerlukan formula yang terdiri daripada jumlah monomial serupa. Bilangan segi ditentukan oleh jumlah sisi asas.

Kawasan segi tiga sama kaki dikira mengikut formula di mana separuh daripada produk asas didarab dengan ketinggian. ketinggian ini dalam piramid yang dipanggil apotem. jawatan Its - "A". Formula umum bagi kawasan permukaan sisi adalah seperti berikut:

S = ½ P * A, di mana P - perimeter pangkal piramid.

Ada kalanya ia tidak diketahui ke sebelah asas, tetapi tepi sampingan adalah (a) rata dan sudut di puncak (α). Kemudian ia bergantung gunakan formula berikut untuk mengira kawasan sisi piramid:

S = n / 2 hingga ² * α dosa.

Tugas № 1

Keadaan. Cari jumlah kawasan piramid, jika dasarnya adalah segi tiga sama sisi dengan sisi 4 cm dan mempunyai nilai √3 apotem cm.

Keputusan. Ia harus bermula dengan pengiraan perimeter asas. Oleh kerana ini adalah segitiga tetap, maka P = 3 * 4 = 12 cm apotem Seperti diketahui, salah satu boleh terus mengira luas permukaan sisi seluruh :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Untuk mendapatkan segitiga asas adalah nilai kawasan (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Untuk menentukan keseluruhan kawasan perlu lipat dua nilai yang terhasil: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Jawab. 10√3 ^cm2.

Masalah № 2

Keadaan. Terdapat berbentuk empat piramid biasa. Panjang asas adalah sama dengan 7 mm, tepi sisi - 16 mm. Anda perlu tahu kawasan permukaannya.

Keputusan. Sejak polihedron - segi empat tepat dan betul, pada dasarnya ialah kuasa dua. Pendengaran kawasan asas dan sisi sisi dapat bergantung piramid persegi. Formula untuk persegi itu diberikan di atas. Dan saya tahu semua muka sebelah segitiga. Oleh itu, anda boleh menggunakan formula Heron untuk mengira kawasan mereka.

Pengiraan pertama adalah mudah dan membawa kepada nombor ini: 49 mm ^2. Untuk mengira nilai kedua perlu semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 mm. Sekarang kita boleh mengira luas segi tiga sama kaki: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Terdapat empat segi tiga, jadi apabila mengira nombor akhir perlu didarab dengan 4.

Diperoleh: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Jawab. 267,576 nilai yang dikehendaki daripada ² mm.

Tugas № 3

Keadaan. Di piramid berbentuk empat biasa adalah perlu untuk mengira kawasan itu. Ia dikenali sisi segi empat sama - 6 cm dan ketinggian - 4 cm.

Keputusan. Cara yang paling mudah untuk menggunakan formula dengan produk perimeter dan apotem. Nilai pertama didapati semata-mata. Kedua agak sukar.

Kami akan perlu ingat teorem Pythagoras dan mempertimbangkan segi tiga tepat. Ia dibentuk oleh ketinggian piramid dan apotem, yang hipotenus. Pusingan kedua adalah separuh sisi segi empat sama, kerana ketinggian polihedron akan turun di tengah-tengah itu.

apotem disukai (hipotenus segi tiga tepat) adalah sama dengan √ ⁽² Mac + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Kini ia adalah mungkin untuk mengira nilai yang dikehendaki: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Jawab. 96 cm ^2.

Masalah № 4

Keadaan. Dana piramid heksagon biasa. Sisi dasarnya sama dengan 22 mm, tepi sisi - 61 mm. Apa yang kawasan permukaan sisi polihedron ini?

Keputusan. Sebab di di dalamnya adalah sama seperti yang dinyatakan dalam №2 tugas. Hanya piramid Lalu diberikan ke dataran di kaki, dan kini ia adalah heksagon.

Langkah pertama dikira dengan kawasan asas daripada formula di atas ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Sekarang anda perlu untuk mencari separuh perimeter segi tiga sama kaki, yang merupakan muka sampingan. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 kekal pada formula Heron untuk mengira keluasan setiap segi tiga, dan kemudian kalikan dengan enam kali ganda dan yang ternyata asas.

Pengiraan formula Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 cm ^2. Pengiraan yang akan menyediakan kawasan permukaan sisi: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Ia masih menambah mereka untuk mengetahui seluruh permukaan: 5217,47≈5217 cm ^2.

Jawab. Alasan - 726√3 cm ^2, permukaan sebelah - 3960 cm ^2, kawasan keseluruhan - 5217 cm ^2.