Petua Cramer dan aplikasinya

petua Cramer - adalah salah satu kaedah yang tepat untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear (Slough). ketepatannya kerana penggunaan penentu matriks sistem, dan juga sebahagian daripada sekatan yang dikenakan dalam pembuktian teorem.

Sistem persamaan algebra linear dengan pekali yang dipunyai oleh, contohnya, kejamakan R - nombor nyata yang tidak diketahui x1, x2, ..., xn adalah koleksi ungkapan

ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi dengan i = 1, 2, ..., m, (1)

mana AIJ, bi - nombor nyata. Setiap daripada ungkapan ini dipanggil persamaan linear, AIJ - pekali yang tidak diketahui, bi - pekali bebas daripada persamaan.

penyelesaian (1) merujuk kepada vektor n-dimensi x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), di mana penggantian ke dalam sistem untuk x1 anu itu, x2, ..., xn, setiap baris dalam sistem menjadi persamaan terbaik .

Sistem ini dipanggil konsisten jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, dan tidak konsisten, jika ia bertepatan dengan set penyelesaian set kosong.

Perlu diingat bahawa untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear menggunakan kaedah Cramer, sistem matriks perlu menjadi persegi, yang pada asasnya bermakna jumlah yang sama yang tidak diketahui dan persamaan dalam sistem.

Jadi, untuk menggunakan kaedah Cramer, anda sekurang-kurangnya perlu tahu apa Matrix adalah sistem persamaan algebra linear, dan ia dikeluarkan. Dan kedua, untuk memahami apa yang dipanggil penentu matriks dan kemahiran sendiri pengiraan.

Biarlah kita menganggap bahawa pengetahuan ini anda miliki. Wonderful! Kemudian anda hanya perlu menghafal formula menentukan kaedah Kramer. Untuk memudahkan hafalan menggunakan notasi berikut:

• Det - penentu utama matriks sistem;

• deti - adalah penentu matriks yang diperoleh daripada matriks utama sistem dengan menggantikan lajur i-ke-matriks untuk vektor lajur di mana elemen-dua belah kanan persamaan algebra linear;

• n - bilangan yang tidak diketahui dan persamaan dalam sistem.

Kemudian Cramer peraturan pengiraan i-ke-xi komponen (i = 1, .. n) n-dimensi vektor x boleh ditulis sebagai

xi = deti / Det, (2).

Dalam kes ini, Det tegas berbeza daripada sifar.

Keunikan penyelesaian sistem apabila ia disediakan bersama oleh keadaan ketidaksamaan daripada penentu utama sistem kepada sifar. Jika tidak, jika jumlah (xi), kuasa dua, tegas positif, maka SLAE matriks persegi adalah infeasible. Ini boleh berlaku khususnya apabila sekurang-kurangnya salah satu daripada bukan sifar deti.

Contoh 1. Untuk menyelesaikan sistem LAU tiga dimensi menggunakan formula Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Keputusan. Kami menulis matriks talian sistem melalui talian, di mana Ai - adalah baris i-ke-matriks.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Ruangan pekali percuma b = (31 Oktober 29).

Sistem utama adalah penentu Det
Det = A11 a22 A33 + a12 a23 A31 + A31 a21 A32 - a13 a22 A31 - A11 A32 a23 - A33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Untuk mengira pilih atur det1 menggunakan A11 = b1, a21 = b2, A31 = b3. kemudian
det1 = b1 a22 A33 + a12 a23 b3 + A31 A32 b2 - a13 a22 b3 - b1 A32 a23 - A33 b2 a12 = ... = -81.

Begitu juga, untuk mengira det2 penggunaan penggantian a12 = b1, a22 = b2, A32 = b3, dan, dengan itu, untuk mengira det3 - a13 = b1, a23 = b2, A33 = b3.
Maka anda boleh menyemak bahawa det2 = -108, dan det3 = - 135.
Menurut formula Cramer mencari x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Menjawab: x ° = (3,4,5).

Bergantung kepada kesesuaian kaedah ini, kaedah Kramer sistem persamaan linear menyelesaikan boleh digunakan secara tidak langsung, sebagai contoh, untuk menyiasat sistem pada bilangan kemungkinan penyelesaian bergantung kepada nilai parameter k.

Contoh 2. Untuk menentukan apa nilai-nilai parameter k ketidaksamaan | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 mempunyai tepat satu penyelesaian.

Keputusan.
ketidaksamaan ini, dengan takrif fungsi modul boleh dilakukan hanya jika kedua-dua ungkapan adalah sifar pada masa yang sama. Oleh itu, masalah ini dikurangkan untuk mencari penyelesaian persamaan algebra linear

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Penyelesaian kepada sistem ini hanya jika ia adalah penentu utama
Det = k ^ {2} + 1 adalah bukan sifar. Adalah jelas bahawa keadaan ini berpuas hati bagi semua nilai sebenar parameter k.

Menjawab: untuk semua nilai sebenar parameter k.

Objektif jenis ini juga boleh dikurangkan banyak masalah praktikal dalam bidang matematik, fizik atau kimia.